Számtan és matematika

9 - 12. évfolyam

 

Célok és feladatok

A matematika tanításának a középpontjában a feladatmegoldás áll. Az a lényeg, hogyan oldunk meg egy feladatot, nem pedig a kapott eredmény. A feladatmegoldások szempontjából a következõ kiindulási pontok a legfontosabbak: a fantázia (indukció) az elsõ, majd a logikai következtetés (dedukció) a matematikatanítás második szakaszában.

A legfontosabb az, hogy a diákok gondolkodási képességét a széles körbõl induló megközelítésektõl a logikai következtetések levonásáig fejlesszük, és ezen túlmenõen elérjük, hogy bennük önbizalom és saját gondolkodásuk iránt bizalom ébredjen.

További cél, hogy képessé tegyük a diákokat a számítási módszerek alkalmazására mindennapi teendõik során, és megfelelõ alapismeretekkel lássuk el õket továbbtanulásukhoz.

A feladatok kiválasztásánál a különbözõ heurisztikus módszerek megjelenítése fontosabb, mint a szakterületekre (algebrára, függvénytanra…) való besorolás.

A tanulók gyakorolhatják a találgatási, próbálkozási, vizsgálat-variálási, és elmélet-felállítási képességüket. A megoldás kulcsának megtalálása érdekében lehet egyszerûsíteni a feladatot, így segít, ha analógiákat állítunk, vagy általánosítjuk a kérdést, hogy megsejtsük, melyik ötlet kecsegtet a legjobb eredménnyel.

A kreatív problémamegoldások nagy aránya miatt a matematika óriási jelentõséggel bír a diákok fejlõdésében, ebben az életszakaszukban is. Adott számukra a lehetõség, hogy saját gondolkodásmódjukra különbözõ nézõpontokból tekintsenek, kiindulópontokat keressenek, példákat, illetve ellenpéldákat válasszanak, szisztematikusan lefolytassanak egy kutatást és az eredményeket bizonyítsák. Megtanulnak analizálni, valamint feltételeket és feltevéseket értékelni.

Fontos, hogy a diákok átélhessék az egyetemes érvényesség bensõ meghódítását. Akkor örülnek a legjobban az eredménynek, ha azt elõbb megsejtették, kitalálták, majd azután be is tudták bizonyítani.

Mivel a gondolkodás „Énünk” tevékenységének egyik lényeges megnyilvánulása, a matematika egészen különleges lehetõségeket nyújthat a diákok belsõ fejlõdéséhez és tanulságos lehet önismeretük kialakulásában.

A geometriában, amely akár a fõoktatás matematikaepocháján belül, akár külön epochaként is megjelenhet,

·         gyakorolniuk kell a gondolati átalakításokat a háromdimenziós térben.

·         A diákoknak meg kell tanulniuk folyamatokban gondolkodni, át kell törniük, és fel kell oldaniuk a gondolkodási és érzékelési korlátaikat, ezáltal gondolkodásukba több mozgékonyságot és nyitottságot kell vinniük.

·         A térbeli valóság ábrázolási módjait, mint a párhuzamosok merõleges és ferde vetületeit, az axonometriákat és a perspektívákat gyakorolják, és vizsgálják ezek mély értelmû, a célnak megfelelõ alkalmazását.

 

 

9. évfolyam

 

Óraszámok: évi 132 óra (6 epochahét: 60 óra + heti 2 szakóra: 72 óra)

 

Célok és feladatok:

A diákok számukra új területeken,(  a kombinatorikában, esetleg a valószínûségszámítás kezdeti alapjaiban) megtapasztalhatják, hogy a gondolkodás a konkréttól az általánosításhoz vezet. Az egyenletek tanulmányozása, amelyet továbbfolytatunk és elmélyítünk, világos megoldási módjai által jó gyakorlóteret kínál a növekvõ logikai képességeknek. Emellett a periodikus számítási eljárások minden lehetséges formája, úgymint a felület- és térfogatszámítások, a diákokat fokozott gyakorlásra készteti.

A háromszög tanulmányozása során, egyszerû bizonyítási eljárások segítségével új törvényszerûségeket lehet felfedezni, amelyekhez a már tanultakat alkalmazzuk.  A megközelítési mód analitikus, a konkréttól az általános felé, a mértani szerkesztéstõl annak bizonyítása felé halad. A geometriában a kúpszeletek szerkesztése - melyet egyébként már korábban megkezdhettek, és adott esetben késõbb még kiegészítésre kerülhet - lehetõséget biztosíthat arra, hogy a szerkesztési módok nagy száma által "koncentrált" fogalmakat találjanak, mozgékony elképzeléseket alkossanak, melyeket ugyanakkor szigorú törvényszerûség irányít. A vezérkör segítségével végzett szerkesztésekben (ellipszis, hiperbola) vagy a vezéregyenes segítségével végzett szerkesztésekben (parabola) elõször jelenik meg valamivel érthetõbben a végtelenség fogalma, ami a 6. osztály óta látensen jelen van. Hasonlóképpen kell eljuttatni a diákokat gyakorlatok által a tér három dimenziójának megragadásához. Kiindulópont lehet a kocka, amely áttekinthetõen képviseli a tér dimenzióit. A kockából megalkothatjuk a legkülönfélébb testeket. Lépésenként végrehajtott változásokat tartalmazó gyakorlatokkal kell a képzelõtehetséget mozgékonnyá tenni.

Ábrázolási módszerként a ferde metszést alkalmazzuk.

A diákoknak életrajzaikon keresztül az összes olyan személyiséget meg kell ismerniük, akiknek a szellemi eredményeivel foglalkoznak (pl. Pascal, Fermat).

Az irracionalitással és az összemérhetetlenséggel kapcsolatos periodikus számítási eljárások polaritásukban elõkészítik az aritmetika és a geometria egyesítését az analitikus geometriában (a 11. osztályban).

Ebben az idõszakban a matematikaórákon bevezethetjük a zsebszámológép használatát.

Az oktatási témák tárgyalása során a 9. osztály számára a "hogyan" a lényeges. Ez akkor sikeres, ha az életbõl vett konkrét példa kifejezõereje az általános törvényszerûséget átélhetõvé tudja tenni.

 

Javasolt témakörök:

ELEMI ALGEBRAI ISMERETEK ÉS KÉSZSÉGEK

A következõk átismétlésére kerül sor:

·         A természetes számok, az egész számok és a racionális számok tartománya.

·         Az oszthatóság szabályai, a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös.

·         A prímszámok és számosságuk.

·         A négy alapmûvelet polinomokkal (többtagú kifejezésekkel) és algebrai törtekkel.

·         Négyzetre emelés és négyzetgyökvonás.

·         Irracionális és valós számok.

·         Egyenes és fordított arányosság alkalmazása a gyakorlati élet különbözõ területein (százalékszámítás, kamatszámítás,…).

Algebra

·         Két- és három ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek.

·         Az osztály képességeitõl függõen: másodfokú egyenletek (a 10. osztályban is tanítható).

Kombinatorika

·         Permutációk.

·         Kombinációk

.

·         Variációk.

·         Esetleg: a valószínûség számítás alapelemei, a kombinatorikai kérdésfeltevésbõl kiindulva.

·         Számelmélet elemei (különbözõ alapú számrendszerek, különös tekintettel a számítógépek alapszámrendszereként szolgáló kettes számrendszerre).

·         Bizonyítás teljes indukcióval.

Binomiális tétel

·         A binomiális együttható.

·         A Pascal háromszög.

·         A négyzetre emelés és a négyzetgyökvonás számítási eljárása, a köbgyök érintése.

·         A számítások egyszerûsítésének elektronikus segédeszközök nélküli trükkjei, a binomiális tétel alapulvételével.

Leíró statisztika

·           Statisztikai adatok gyûjtése, rendszerezése, különbözõ ábrázolásai .

·           Statisztikai mutatók (aritmetikai átlag, medián, módusz) és szóródási mutatók (terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás )

Algoritmikus számítási eljárások

·         Lánctörtek és használatuk törtek egyszerûsítésére.

·         Közelítõ törtek az aranymetszéshez (lásd még az irracionalitásnál).

·         Esetleg: az euklideszi algoritmus a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös kiszámításához, gyakorlati példákon bemutatva.

Összemérhetetlenség az aritmetikában és a geometriában

·         A számtartomány kiterjesztése az irracionális számokra.

·         A végtelen lánctörtek használata a négyzetgyökvonás közelítõ eljárásaként.

·         Esetleg: a Ö1 és Ö25 közelítõ értékének kiszámítása lánctörtek segítségével.

·         A négyzet és a Ö2.

·         Az egyenlõ oldalú háromszög és a Ö3.

·         A szabályos ötszög és a Ö5.

·         Az ötszög oldala képletének levezetése az ötszög átlójából.

GEOMETRIA

·         Szögek és szögfajták ismétlése.

·         A kerületi és a középponti szögek tétele.

·         A háromszögek egybevágósága, hasonlósága, arányos felosztás.

·         A háromszög nevezetes pontjai, az Euler-féle egyenes. A háromszög Feuerbach-féle köre.

·         A magasság-és befogótétel.

·         Területszámítások ismétlése és elmélyítése (háromszög, négyzet, téglalap, rombusz, paralelogramma, trapéz, deltoid, valamint terület-átalakítások).

·         A körív, körcikk, a körlemez részeinek területe.

·         Térfogatszámítások (kocka, téglatest, hasáb, gúla, henger, kúp, gömb).

·         A másodrendû görbék tulajdonságai, érintõi és egyéb görbék (pl. Cassini-féle görbék, Descartes-féle görbék). (A 10. osztályban is tanítható).

·         Síklapokkal határolt különbözõ testek ábrázolása (általában ábrázoló geometria epocha keretében).

·         Ferde metszések.

·         Platóni és archimédeszi testek.

·         A szimmetria megragadásának gyakorlása az egyszerû platóni testek, úgymint kocka, oktaéder, tetraéder, dodekaéder, ikozaéder esetén, és kettõzésükkel.

·         A belsõ térlátás gyakorlása a rajzolás elõtti feladatkitûzésre szolgáló ábrázolási gyakorlatok, valamint a térbeli összefüggések és a vegytiszta szerkesztési módok egymástól világosan elválasztott leírásai által.

·         Egy egyszerû szabványírás kidolgozása.

·         Az aranymetszés (alkalmazása az építészetben, a természetben és az emberben) (javasolt a 10. osztályban is foglalkozni vele).

 

Várható eredmények:

·         A diákok ismerik az oszthatóság elemi tulajdonságait, s azokat egyszerû feladatokban alkalmazzák.

·         Biztonsággal számolnak a valós számok körében.

·         Képesek algebrai törtekkel a négy alapmûvelet elvégzésére.

·         Az egyenletek és egyenlõtlenségek megoldásában eljutnak a paraméteres egyenletekig.

·         Tudnak megoldani elsõfokú két és három ismeretlenes egyenletrendszereket.

·         Képesek általánosítani, törvényszerûségeket felismerni.

·         Tudnak megoldani feladatokat a kombinatorika körében/ permutáció, variáció, kombináció /.

·         Ismerik a háromszögek nevezetes vonalaira és pontjaira vonatkozó tételeket bizonyításukkal együtt, s azokat alkalmazni tudják feladatok megoldásában.

·         A négyszögek és a sokszögek területét ki tudják számítani.

·         Ismerik a kúpszeleteket/ parabola, ellipszis, hiperbola /, mint mértani helyeket és képesek azokat megszerkeszteni.

 

10. évfolyam

 

Óraszámok: évi 132 óra (6 epochahét: 60 óra + heti 2 szakóra: 72 óra)

 

Célok és feladatok:

A diákokat "az ismeretektõl a felismerésig" kell elvezetni (R. Steiner). Ehhez széles gyakorlási területet kínál a trigonometria. A szögfüggvényekben a diák teljesen új kapcsolatszerkezetet, és az abból eredõ gyakorlati hasznot fedezi fel. A matematikai számítások alkalmazásának gyakorlatiasnak, életszerûnek kell lennie. Ezt biztosítják a fizika által nyújtott párhuzamok is (koszinusz tétel a statikában, parabola a hajításnál), valamint a földmérési-gyakorlat). Ebben pontosságot tanulnak; nem a tanár, hanem az eredmény korrigálja a fiatalokat.

Ugyancsak megismerik a diákok az ortogonális vetületek különös jelentõségét. A képalkotás különbözõ lehetõségei alkotják a vizsgálódások kiindulópontját. A perspektívára támaszkodva kerülnek rajzos formában feldolgozásra a térbeli vetítések, valamint a projektív geometria elemei.

A számítási eljárások áttekintésére kerül sor, amely a logaritmus fogalmának feldolgozásában csúcsosodik ki.

A zsebszámológép használata gyakoribbá válik.

Az egyenleteknél legkésõbb most foglalkozunk a másodfokú egyenletekkel, valamint kifejtjük a különféle megoldási módszereket és képleteket.

 

Javasolt témakörök:

ALGEBRA

Másodfokú egyenletek

·         Másodfokú kifejezések teljes négyzetté alakítása, a másodfokú egyenlet megoldó-képletének levezetése.

·         A megoldó képlet alkalmazása.

·         Viète formulák, a másodfokú egyenlet gyöktényezõs alakja.

·         A diszkrimináns jelentõsége.

·         Esetleg: elsõ és másodfokú egyenlõtlenségek.

·         A másodfokú függvények és transzformációi. A négyzetgyök függvény.

Racionális és egész szám kitevõjû hatványok, logaritmusok

·         A hatványozás mûveleti tulajdonságainak ismétlése.

·         A 2 és a 3 hatványai.

·         A hatványkitevõk tartományának kiterjesztése a racionális, az egész, és a valós számokra.

·         A négyzetgyök és mûveleti tulajdonságai. Az n-edik gyök fogalma.